专家解读丨数学模型及其应用

数学模型是针对现实世界的特定对象，为了一定目的，进行必要的简化和假设，运用数学符号、数学公式、程序、图形等，概括表达问题的数量关系和空间形式的一种工具。人们可根据实际问题来建立数学模型，对它进行求解，然后根据结果去解决实际问题。可见，人们利用数学模型来搭建数学世界与现实生活的桥梁。下面简单谈谈数学模型及其应用问题。

       数学模型大致可分为两类：正演数学模型和反演数学模型。正演数学模型是根据各变量之间的某种关系建立方程或方程组，通过对方程或方程组的求解得到数学模型；反演数学模型是根据实际数据，通过某种方法寻求能符合或基本符合这些实际数据的某些数学表达式，以此来建立数学模型。
       数学模型如果按照构成形式又可分为实体数学模型（拥有体积及重量的物理形态概念实体物件）及虚拟数学模型（用电子数据通过数字表现形式构成的形体以及其他实效性表现）；其展示形式可分为平面展示和立体展示。事实上，数学模型是人的思维构成的意识形态，通过表达从而形成的物件。数学建模是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。
       数学建模的一般过程为模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验；而建模的求解可采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。数学建模是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。
       数学模型以其清晰简捷、易于操作的数学表达式，可明确表达事物发展过程中各变量之间的关系。它所表达的内容可以是定量的，也可以是定性的，但必须以定量的方式体现出来。它实际上是人们对现实世界的一种模拟或反映形式，因此与现实世界的原型有一定的“相似性”，抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键性技巧。
       例如加拿大不列颠哥伦比亚大学物理学家本·蒂皮特博士与美国马里兰大学物理学家大卫·臧博士前不久创建了一个名为TARDIS的数学模型，以证明时空旅行是可行的。他们解释称，“我们的时空旅行模型通过弯曲时空将时间形成闭环，而不再是一条直线。”他们还声称，TARDIS是一种时空几何“气泡”，相应的时空旅行速度要快于光速。不过，蒂皮特博士表示：“虽然时空旅行在数学模型上是可行的，但由于目前没有相关的材料和方式来压缩时空，因此我们还无法建立一个时空机器。”
      又如世界顶尖科学家协会副主席、2013年诺贝尔化学奖得主、美国斯坦福大学结构生物学家迈克尔·莱维特教授领衔的研究团队经过5个月对全球3546个不同国家地区的疫情数据追踪，最近提出一个新的数学模型，用于预测每个地方新冠肺炎(COVID-19)疫情何时结束，以及确诊人数和死亡人数。他们认为，如果能够提前预测可能会造成的病例数和死亡率，那么对于决策者在制定政策以控制病原体和优化医疗资源分配时都会有非常重要的意义。
       再如在社会学研究中，人类行为和社会关系的模拟与预测是关键问题。数学模型为研究人类行为提供了一种理论框架。社交网络模型可以帮助我们理解人际关系的形成和扩散规律；迁徙模型可以揭示人口流动对社会变革的影响。这些模型通过数学方程将社会现象抽象化、形式化，使得研究人员能够更好地预测和干预社会变化。
        就连中国2020年高考数学试题也出现了数学模型的应用例子，如Ⅰ卷（供山东省使用）第6题，基于新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果，考查了相关的数学知识和从资料中提取信息的能力，突出数学和数学模型的应用。
        中国著名学者周海中教授在1993年发表的《21世纪数学展望》一文中指出：“数学模型在今后将显得越来越重要。”事实已经证明了他的这一预见。数学模型当前已广泛应用于自然科学和社会科学的各个领域，并起着十分重要的作用。
       随着人类使用数字，就开始不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。比如对学生的综合素测评、对教师工作业绩的评定以及诸如访友、采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确定一个最佳方案；通过分析、比较，在若干种可供选择的方案中选定最优方案的过程。
       现在数学模型还没有一个统一的、准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。但基本的内涵是这样的，数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而做的一个抽象的、简化的结构。数学模型是近几年发展起来的一项新兴的课题，更是数学理论与实际问题相结合的一门科学。
       不管是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其他学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解（通常借助计算机尤其数学软件）；数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。
       近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学模型在各学科领域发挥着越来越重要的作用，影响着人们的日常生活以及人类的未来发展。
文/李秀莲（作者系新加坡国立大学博士后）
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