梅森素数是否有无穷多个？_中国评论网-评论网

梅森数是指形如 2^p-1 的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp。若Mp是素数，则称为梅森素数（Mersenne Prime）。p=2、3、5、7时，Mp都是素数，但 M11=2047=23×89不是素数，是否有无穷多个梅森素数是数学中未解决的难题之一。千百年来，人类目前只找到51个梅森素数。
梅森素数是否有无穷多个？

        部分梅森素数
        数论专家们一般都认为梅森素数有无穷多个。例如，我国数论专家、科普工作者罗莫就是如此；他用三种方法来证明梅森素数有无穷多个，其中一种方法是借助费马小定理。
        从目前了解到的例证看，梅森素数非常稀少，但总可不断发现新的梅森素数，它们是否无穷尚未有可直观理解的判定，这需要一个纯数学证明。以下是罗莫借助费马小定理的证明：
        如果梅森数（2^p-1）≡1mod（Mp），即2^p≡2mod（Mp）。
        另根据哥德巴赫猜想获证，必有新素数（p+2n）存在。
        则2^（p+2n）≡2^(2n+1)mod（Mp）。
        2^(2n+1）是指数为奇数的密集2幂数（即2的任意次幂）偶数，故可取
        2(2n+1)=Mp+1，则｛2^（p+2n）-1｝≡0mod（Mp ）。
        故有梅森素数Mp存在。
       如果梅森数（2^p-1）≡2mod（Mp），即2^p≡3mod（Mp）。
       另根据哥德巴赫猜想获证，必有新素数（p+2n）存在。
       则 2^（p+2n）≡3×2^2nmod（Mp）。
       3×2^2n 也是偶数，可取2^(2n+1)=Mp+1，
       那么3×2^2n=2^2n+2^(2n+1)=Mp-1，则(2^（p+2n）-1｝≡2^2nmod（Mp），
       在此基础上再取新素数所对应的梅森数，得：
       2^（p+2n）≡2^(2n+1)2^(2n+1)mod（Mp）2^(2n+1)是指数为奇数的密集2幂数偶数，故可取2^(2n+1)=Mp+1，则（2^（p+2n）-1）≡0mod（Mp）。
       故有梅森素数Mp存在。
        如果梅森数（2^p-1）≡3mod（Mp），即2^p≡4mod（Mp）。
       另根据哥德巴赫猜想获证，必有新素数（p+2n）存在。
        则 2^（p+2n）≡2^(2n+1)+2^(2n+1)mod（Mp）。
        2^(2n+1)是指数为奇数的所有2的幂级数偶数，故可取 2^(2n+1)=Mp+1，
        则（2^（p+2n）-1）≡0mod（Mp）。
         故有梅森素数 Mp存在。
……
         现假设：如果梅森数（2^p-1）≡2^x-1mod（Mp），即2^p≡2xmod（Mp）
         另根据哥德巴赫猜想获证，必有新素数（p+2n）存在。
         则2^（p+2n）≡2^（2n）+x2^(2n+1)mod（Mp）。
         2^(2n+1)是指数为奇数的密集2的幂级数偶数，故可取2^（2n+1）=Mp+1，
         则｛2^（p+2n）-1｝≡2^(2n)mod（Mp ）。
        在此基础上再取新素数所对应的梅森数，得：
         2^（p+2n）≡2^(2n+1)2^(2n+1)mod（Mp），2^(2n+1)是指数为奇数的密集2的幂级数偶数，故可取2^(2n+1)=Mp+1，
        则｛2^（p+2n）-1｝≡0mod（Mp）。
        故有梅森素数Mp存在。
        所以从余数1到余数Mp-1，无论是奇数还是偶数，即：
        梅森数2^p-1除以梅森素数 Mp所得到的所有余数，都可以通过梅森数2^p-1中的指数p递增偶数2n差值而获得新素数；
        而此时的新p指数所对应的梅森数整除Mp时，定可得到商数为1余数为0，即（2^（p+2n）-1）=Mp
        由于根据哥猜获证的结论（p+2n）可得到无穷无漏的新素数，故凭此也可得到无穷无漏的新梅森素数；于是梅森素数猜想获证。之所以梅森素数猜想能够获证，是因为指数密集递增与同余数周期递增之间存在交集，由此可捕捉整系数多项式的性态。
       以上是罗莫借助费马小定理来证明梅森素数有无穷多个。此方法是否可行，还需要经过严格的验证。
文/冯莉（作者单位：成都信息工程大学应用数学学院）
(责任编辑：佚名)