数学常数π的探究历程_中国评论网-评论网

π是数学史上最令人着迷的数字之一，千百年来吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探索和研究。下面就简单谈谈数学常数π的探究历程。

       圆可能是自然界中最常见的图形了。人们很早就注意到，圆的周长与直径之比是个常数，这个常数就是圆周率，用希腊字母π（汉语发音：pai）来表示，它无限不循环，是一个无理数；另外，π也等于圆形之面积与半径平方之比，是精确计算圆面积、球体积等几何形状的关键数值。在分析学里，π可以严格地定义为满足sinx=0的最小正实数x。π是数学史上最令人着迷的数字之一，千百年来吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探索和研究。
      关于π最早的文字记载来自公元前2000年前后的古巴比伦人，他们认为π=3.125，而古埃及人使用π=3.1605。到了公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德第一个给出了计算π的科学方法：圆内接（或外切）正多边形的周长是可以精确计算的，而随着正多边形边数的增加，会越来越接近圆，那么多边形的周长也会越来越接近圆周长；他一直加到了96边形，计算出圆周率在3.1408和3.1428之间。
      无独有偶，中国三国时期的数学家刘徽，在对《九章算术》作注时，在公元264年给出了类似的算法，并称其为“割圆术”；他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416；后来人们为纪念他的成就称此率为“徽率”。刘徽这种让内接正多边形边数逐倍增加，边数越多，就越和圆周贴近的思想，在当时条件下是非常不简单的。
       约公元480年，中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之按照刘徽的割圆术之法，算出了3.1415926<π<3.1415927，这个π值已经准确到7位小数，创造了当时π计算的世界纪录；他还给出π的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率）。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π叫做“祖率”。但令人吃惊的是，竟然有人质疑刘徽和祖冲之是否计算过圆周率；其实这是一种无知的表现。事实上，刘、祖二位在计算圆周率方面做过大量的工作，在国内外教科书及文献中都有记载和描述。
        17世纪之前，计算圆周率基本上都是采用割圆术，德国数学家鲁道夫•范•科伊伦花费大半生时间，计算了正262边形的周长，于1610年将π值计算到小数点后35位，是当时世界上最精确的圆周率数值；德国人因此将圆周率称为“鲁道夫数”。关于π值的研究，革命性的变革出现在17世纪发明微积分时，微积分和幂级数展开的结合导致了用无穷级数来计算π值的分析方法，这就抛开了计算繁杂的割圆术。那些微积分的先驱如帕斯卡、牛顿、莱布尼茨等都对π值的计算做出了贡献。
1706年，英国数学家威廉•琼斯最先使用π来表示圆周率，但它未被立刻采用；后来瑞士数学家莱昂哈德•欧拉于1737年予以提倡，π才被推广开来。瑞士数学家约翰•海因里希•兰伯特于1761年证明了π是一个无理数，即不可表达成两个整数之比。1882年，德国数学家费迪南德•冯•林德曼更证明了π是一个超越数，即π不可能是任何整系数多项式的根。
       进入了电子计算机时代，人们推算π的效率和方法都发生了质变。世界上的第一台通用计算机ENIAC，在1950年的时候就算至小数点后的2037位数，在数学界造成了极大的轰动。1973年算至100万位，1987年算至1亿位，2002年算至1万亿位。2019年，美国谷歌公司将圆周率的数值计算到小数点后31万亿位。2021年，瑞士格劳宾登应用科学大学的研究人员将圆周率的数值计算到小数点后62.8万亿位，耗时108天。2023年4月，美国Solidigm公司追平了由谷歌在2022年创下的将圆周率计算到小数点后100万亿位的纪录；最近Solidigm又将圆周率计算到小数点后约105万亿位，这是最新的世界纪录。
      在数学史上，从没有对一个常数有过如此狂热的数值计算竞赛。中国数学家、未来学家周海中在1988年5月举行的学术讲座《数学常数π与e》中预言：“数学常数π的数值计算竞赛会持续升温，这种竞赛有助于人们探究能力的培养和提高；对于今后从事科研工作，有着重要意义和推动作用。”如今，他的这一预言已经成为现实。不过，π有10位小数就足以满足几乎所有的实际计算需要，在日常生活中一般取π小数点后4位（即π=3.1416）就足够了。
       为了纪念π（可转写成英语单词pi，而英语读pi听起来像“派”），美国麻省理工学院首先倡议将3日14日定为“圆周率日”（Pi Day）。2009年，美国众议院正式通过一项无约束力决议(HRES224)，将每年的3月14号设定为“国家圆周率日”（National Pi Day）。2011年，国际数学联合会（IMU）为纪念祖冲之而将每年的3月14日设为“国际数学节”。有一个有趣的巧合，就是美籍德国犹太裔物理学家阿尔伯特•爱因斯坦出生于1879年3月14日的圆周率日，他还在圆周率日发表了他的广义相对论。
        为表庆祝，谷歌在2010年3月14日推出了π的“谷歌涂鸦”（Google Doodle），图中元素颇丰，不仅包含了π的定义、π值范围、圆周周长与面积公式，甚至还包含了球体积公式以及圆周的外切和内切多边形示意图。另外，π还进入一些电影片名中，如1998年由达伦•阿罗诺夫斯基执导的《圆周率》(π)、2012年由李安执导的《派的生活》(Life of π)等，可见π的影响力之大。
       有趣的是，近年来人们在3月14日这一天一起吃派（面点类食品），喝一种名字中含有“pi”的鸡尾酒（piña colada），玩和pi发音相近的彩罐游戏（piñata）。更有趣的是，为庆祝一年一度的圆周率日，全球大型跨国连锁餐厅麦当劳决定：从2018年3月10日至14日，用3元人民币就能在中国大陆的部分麦当劳门店买任意口味派，还举办了“派Day数学能力考试”。
        值得一提的是，π除了具有数学魅力外，还成为人们表现记忆力的一种方式。例如，中国西北农林科技大学学生吕超在2005年花费24小时零4分钟，毫无错误地背诵到了π小数点后67890位，从而一举创下了一项背诵圆周率最多位数的吉尼斯纪录。不过，乌克兰38岁的医学博士安德烈•斯柳萨楚克于2009年宣称他能将π记忆到小数点后3000万位，他因此被称作“π博士”，还受到过乌克兰前总统维克多•尤先科的祝贺和接见。
       由于在数学中，半径的概念似乎比直径更加深入人心，一些数学家也早已注意到了把π定义为圆的周长和直径之比有所不便，所以曾在论文中正式地提出这一点；他们认为应该让另一希腊字母τ（汉语发音：tau）取代π成为圆的重要常数。但也有数学家表示反对，双方的争论颇为激烈。不管最终的结果如何，有一点是可以肯定的，那就是人们对数学常数π的探究还会继续下去，永不停息。
文/杨蓉（作者单位：瑞士日内瓦大学科学系）
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