都灵大学博士后：数学之谜——究竟什么是完美数

无论在外在的物质世界里，还是在内在的精神世界里，都不能没有数学。最早悟出万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在公元前6世纪的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯；而他及其学派无论在代数上还是几何上都有很多贡献，也留下了不少数学谜团。下面就简要谈谈完美数问题。

     所谓完美数(perfect number，又称“完全数”“完备数”或“完满数”)，是一种特殊的自然数；它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和，恰好等于它本身。例如6是第一个完美数，也是最小的完美数；它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完美数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。
      公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在其名著《几何原本》中首次给出了寻找完美数的方法，被数学界誉为欧几里得定理：如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数),则2^(P-1)(2^P-1)是完美数。法国哲学家、数学家、物理学家勒内·笛卡尔曾经公开预言：“能找出完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完人亦非易事。”历史证实了他的预言。两千多年来，人们历尽艰辛，一共才找到51个完美数。因此，完美数在数学界有“数海明珠”之称。
      完美数2^(P-1)(2^P-1)中的素数部分2^P-1被称为“梅森素数”(Mersenne prime)，因为17世纪法国数学家马林·梅森（Marin Mersenne）对这种特殊素数做过系统而深入的探究以及他对科学做出的杰出贡献，数学界在1897年瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会(ICM)上就将2^P-1型素数以他姓氏命名。
     由于梅森素数具有独特美妙的数学性质，许多著名数学家包括费马、莱布尼茨、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵，以及无数数学爱好者对它情有独钟。梅森素数珍奇而迷人，因而被人们誉为“数学宝山上的钻石”；它是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
     1730年,被称为“世界四大数学家雄狮”之一的瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉，时年23岁，正值风华茂盛。他出手不凡，给出了一个出色的定理：每一个偶完美数都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然数，其中2^P-1是素数。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得和欧拉两个互逆定理，公式2^(P-1)(2^P-1)就成为判断一个偶数是不是完美数的充要条件了。
      自古希腊时代直至17世纪，人们寻找梅森素数的意义似乎只是为了寻找完美数。但自梅森探究2^P-1型素数以来，特别是欧拉证明了欧几里得关于完美数定理的逆定理以后，偶完美数已仅仅是梅森素数的一种“副产品”了。因此，人们只要找到梅森素数，就可以找到与其对应的偶完美数了。至于奇完美数，至今还不知道是否存在；如果有奇完美数，它必须大于10^300。
       远的不说，上世纪中期挪威数学家奥斯汀·奥尔检查过10^18以下自然数，没有一个奇完美数；1967年美国数学家布莱恩特·塔克曼宣布，如果奇完美数存在，它必须大于10^36，这是一个37位数；1972年，有人证明它必大于10^50；1982年，又有人证明它必须大于10^120；……这种难于捉摸的奇完美数也许可能有，但它实在太大，以至超出了人们能够用计算机计算的范围了。对奇完美数是否存在，产生如此多的估计，也是数学界的一大奇闻！
      关于完美数还有许多等待破解之谜，如完美数之间有什么关系？完美数是否无穷多个？人们还发现完美数的一个奇妙现象：把一个完美数的各位数字加起来得到一个数，再把这个数的各位数字加起来，又得到另一个数，一直这样做下去，结果一定是1。例如，对于28有2+8=10、1+0=1，对于496有4+9+6=19、1+9=10、1+0=1等等。这一现象，对除第1个完美数6外的所有完美数是否成立？
      完美数另一个现象更为奇妙：完美数可表示为连续奇数的3次方之和。例如，28=1^3+3^3、496=1^3+3^3+5^3+7^3、8128=1^3+3^3+5^3+…+15^3；而第5个完美数33550336的被加者多达64项，难怪古人找它就花了一千多年。这一现象，对除6外的所有完美数是否也成立？完美数的难题与其他数学难题一样，有待人们去攻克；而破解这些未知之谜，正是科学追求的目标。
       完美数中的梅森素数虽然貌似简单，但探究难度却很大；当指数P值较大时，不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。1772年，欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已，难怪法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”
       在“手算笔录”的年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。而电子计算机的产生加速了梅森素数探究进程。1952年，美国数学家拉婓尔·鲁滨逊等人使用SWAC型计算机在短短的几个月内，就找到了5个梅森素数：2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。可见计算机技术的神奇魅力。
      网格(grid)这一崭新技术的出现使梅森素数的探究如虎添翼。1996年初，美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用；这就是著名的“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目，也是世界上第一个基于互联网的网格计算项目。网格计算就是通过利用大量异构计算机(通常为桌面计算机)的未用资源，为解决大规模的计算问题提供一个新的模型。
     为了激励人们寻找梅森素数和促进网格计算发展，总部设在美国旧金山的电子前沿基金会(EFF)于1999年设立了专项奖金悬赏梅森素数的发现者。EFF规定向第一个通过GIMPS项目找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元；后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。不过，绝大多数人参与GIMPS项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、荣誉感和探索精神。
       现在只要人们去GIMPS的主页下载一个名为“Prime95”免费程序，就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数了。目前，世界上有200多个国家和地区近25万在线网民参与GIMPS项目，并动用了超过262万核中央处理器(CPU)联网来寻找新的梅森素数。另外，全球最大的网格计算平台——BOINC的参与者也可加入GIMPS项目。可见，梅森素数的探究非常火爆；这在数学史上前所未有，在科学史上也极为罕见。
      2008年8月，美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)的计算机专家埃德森·史密斯通过参加GIMPS项目，发现了第46个梅森素数，它也是当时已知的最大素数；该素数为2^43112609-1，有12978189位。这一科研成就被著名的《时代》周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一，排名在第29位。
      前不久，来自美国佛罗里达州的互联网专家、数学爱好者帕特里克·拉罗什利用GIMPS项目，成功发现第51个梅森素数——2^82589933-1；该数有24862048位，它是当今人类发现的最大素数。由此，人们也就知道2^82589932（2^82589933-1）是第51个偶完美数了。如果用普通字号将第51个梅森素数打印下来，其长度将超过100公里！
      值得一提的是，在梅森素数的素性判断方面，法国数学家爱德华·鲁卡斯和美国数学家德里克·雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。在梅森素数分布研究方面，中国数学家、语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。
       梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值。它的探究推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算技术、密码技术、程序设计技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。顺便一提的是，近百年来，人们发现的“最大素数”几乎都是梅森素数；时至今日，人们依然不知道梅森素数是否有无穷多个。
       此外，梅森素数常用来测试计算机硬件运算是否正确。例如前不久，德国一名GIMPS项目参与者发现：当Intel Skylake处理器在执行Prime95应用来搜索梅森素数时，运算到指数P=14942209就出现了触发系统死机的程序错误（bug）。有关专家认为：这个bug轻则导致程序冻结，重则引发系统崩溃。美国英特尔公司已承认存在该bug，并做了修复。
       由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席、《素数的音乐》一书作者马科斯·索托伊甚至认为：梅森素数探究可以挑战人类科技与智慧极限，其成果是一个国家科技创新能力的重要标志之一。
       由上可知，完美数与梅森素数是一对有着紧密关联的数学谜团。尽管我们现在还看不到完美数的实际用处，但它反映了自然数的某些基本规律；而梅森素数的实际用途有很多，它正以其独特魅力、理论意义和应用价值，吸引着更多的有志者去寻找和研究。
       俗话说，“一叶知秋”、“滴水映海”。当我们追溯完美数探究历程之时，可以窥见其探究蕴含着数学家及数学爱好者的辛勤努力，正是由于他们的不懈奋斗，才取得了可喜的进展，并创造了今天的辉煌。
      文/谢丽、米莉·里奇（作者均为意大利都灵大学博士后）
(责任编辑：佚名)